FILSAFAT MATEMATIKA

Matematika adalah himpunan dari nilai kebenaran, dalam bentuk suatu himpunan pernyataan yang dilengkapi dengan bukti, dan bahwa fungsi dari filsafat matematika adalah untuk menetukan kepastian dari kebenaran ini.
Filsafat matematika adalah segenap pemikiran reflektif terhadap persoalan-persoalan mengenai segala hal yang menyangkut landasan matematika serta hubungan matematika dengan segala segi dari kehidupan manusia. Landasan itu mencakup berbagai konsep pamgkal, anggapan dasar, asa permulaan, struktur teoritis, dan ukuran kebenaran.
Sampai sekarang para filsuf dan ahli matematika masih mencoba merumuskan apa sesungguhnya matematika itu. Banyak definisi matematika telah dikemukakan, namun banyak pula sanggahannya. Kata Cassius Keyser:
“Ilmu tentang matematika – apakah yang harus dikatakan tentangnya? Sebuah pertanyaan yang banyak diperbincangkan oleh filsuf-filsuf dan matematikawan-matematikawan selama lebih daripada 2000 yahun dan khususnya dengan minat dan pemahaman yang diperdalami pada masa kita ini. Banyak sudah jawabannya, tetapi tiada yang menyatakan dirinya sebagai jawaban yang terakhir.”
Kesulitan memberikan sebuah batasan tentang matematika dikemukakan oleh Kenneth May demikian:
“Matematika muncul dalam kebudayaan kita dalam aneka ragam cara yang begitu banyak sehingga sukar untuk melukiskannya sebagai suatu keseluruhan.
Pembahasan di atas menyarankan bahwa rasanya tidak mungkin untuk memberikan sebuah batasan tentang matematika dalam rangka salah satu ciri-cirinya.”
Seperti halnya filsafat hukum yang tidak mengatur, atau filsafat sains yang menguji hipotesis secara ilmiah, filsafat matematika tidaklah teorema atau teori. Filsafat matematika bukanlah matematika. Filsafat matematika merupakan cermin dari matematika yang muncul dari masalah-masalahnya. (Korner, 1960 : 9).
Filsafat matematika muncul ketika kita meminta pertanggungjawaban umum dari matematika, suatu pandangan yang memberikan gambaran penting dan menerangkan secara tepat bagaimana seseorang dapat mengerjakan matematika. (Tymoczko, 1986 : 8).

MATEMATIKA SEBAGAI ILMU FORMAL
Pada dewasa ini sudah pasti matematika merupakan sebuah ilmu, tetapi ilmu formal untuk dilawankan dengan ilmu faktawi seperti misalnya fisika, kimia, dan biologi. Ilmu formal menurut definisi Sheldon Lachman adalah sebagai berikut :
“Cabang-cabang ilmu formal adalah bidang-bidang dari usaha intelektual yang bertanggung jawab untuk menyusun sistem-sistem lambang dan proses-proses perlambang, dan untuk mengembangkan aturan-aturan dan ketentuan-ketentuan yang menyangkut hubungan-hubungan di antara dan langkah-langkah pengerjaan dari lambang-lambang dan proses-proses ini.”
Perbedaan pokok antara ilmu formal dengan ilmu faktawi (factual science) menurut Rudolf Carnap ialah ilmu formal hanya mengandung pernyataan-pernyataan analitis. Sebuah pernyataan analitis adalah pernyataan yang kebenarannya semata-mata mengikuti asas-asas logika dan karena itu akan selalu benar di mana pun juga. Misalnya pernyataan bahwa lingkaran adalah bulat. Jadi, pernyataan analitis hanya menyajikan arti yang memang telah terkandung dalam sesuatu pengertian. Oleh karena bentuk yang bulat sudah dengan sendirinya terkandung dalam pengertian lingkaran, maka pernyataan analitis akan senantiasa benar.
Pernyataan analitis dilawankan dengan pernyataan sintetis, yakni pernyataan yang sebutannya mengatakan sesuatu tentang pokok keterangan yang artinya tidak terkandung pada pokok itu. Misalnya sebuah pernyataan bahwa bumi berjalan mengelilingi matahari dalam bentuk elips. Kebenaran pernyataan sintetis harus dibuktikan dengan keadaan senyatanya dari hal yang disebutkan itu. Ilmu faktawi selain memuat pernyataan analitis juga berisi berbagai pernyataan sintetis.
Sebuah perbadaan lain antara ilmu formal dan ilmu faktawi dikemukakan oleh Mario Bunge. Ahli ini menyatakan bahwa ilmu formal bersangkutan dengan ide-ide, sedang ilmu faktawi menyangkut fakta-fakta yang diperkirakan terjadi dalam dunia ini dan untuk membuktikannya seseorang harus mendasarkan diri pada pengalaman. Sebagai kelanjutan dari perbadaan itu, pernyataan dalam ilmu formal dapat dibuktikan semata-mata dengan akal saja, sedangkan pernyataan ilmu faktawi tidak dapat.
Demikianlah matematika merupakan ilmu formal. Tetapi, menyatakan saja bahwa matematika adalah ilmu formal dan pernyataan analitisnya akan senantiasa besar serta dapat dibuktikan hanya dengan akal saja tidaklah memadai. Harus ada penegasan pokok soal apa yang dipelajari oleh ilmu ini dan bagaimana sifat dasarnya.

MATEMATIKA SEBAGAI ILMU TENTANG BILANGAN
Matematika menurut riwayat dan perwujudannya adalah suatu pengetahuan . hal ini juga ternyata dari asal-usul perkataan matematika itu sendiri. Istilah mathematics berasal dari kata latin mathematica yang semula mengambil pula dari kata Yunani mathematike (artinya : relating t learning- bertalian denagn pengetahuan). Kata Yunani itu mempunyai akar kata mathema yang berarti ilmu atau pengetahuan (science, knwledge). Perkataan mathematike berhubungan pula sangat erat dengan sebuah kata lainnya yang serumpun, yaitu manthanein yang artinya belajar (to learn). Jadi, berdasarkan asal-usulnya kata matematika itu sendiri semula berarti pengetahuan yang diperleh dari prses belajar.
Leh karena itu matematika merupakan suatu pengetahuan, maka persalannya ialah pengetahuan tentang apa, apa yang menjadi pokok soal atau sasaran yang dipelajarinya. Ternyata salah satu sasaran pertama yang ditelaahnya ialah knsepsi tentang bilangan. Jadi, hal-ikhwal tentang bilangan merupakan pkok soal yang dipelajari oleh matematika. Berhubung dengan itu dapatlah dibenarkan batasan dari Charles Eckels yang merumuskan matematika sebagai “the sciance of numbers and their relationships” (ilmu tentang bilangan-bilangan dan hubungan-hubungannya).
Dalam salah satu kepustakaan matematika yang lebih baru dinyatakan hal yang berikut :
“Matematika dasar terutama menyangkut unsur-unsur tertentu yang disebut bilangan-bilangan dan dengan langkah-langkah pengerjaan tertentu yang ditetapkan pada bilangan-bilangan itu.”
Persoalan yang kini perlu dijelaskan ialah apa yang dimaksud dengan bilangan. Beberapa filsuf telah berusaha menjawabnya. Misalnya filsuf Yunani Kuno Aristoteles (384-322 SM) merumuskan bahwa “number is a collection measured by a unit” (bilangan adalah suatu kumpulan yang diukur dengan sebuah satuan), sedang filsuf Abad Tengah Thomas Aquinas (1225-1274) menyatakan bahwa “number consists of unit” (bilangan terdiri dari satuan-satuan). Kedua filsuf ini berpendapat bahwa satu bukanlah sebuah bilangan, melainkan ukuran dari bilangan itu.
Dari segi matematika secara teknis bilangan itu dapat dirumuskan sebagai :
“Sifat sebuah himpunan dari satuan-satuan yang bebas dari sifat-sifat dasar satuan-satuan itu; sifat yang umum berlaku bagi semua himpunan dari satuan-satuan yang dapat dituangkan dalam hubungan satu berbanding satu.”
Pengertian bilangan tersebut di atas sesungguhnya adalah suatu abstraksi, yaitu pemujaradanterhadap apa yang tadinya berwujud. Bilangan merupakan konsepsi yang hanya ada dalam pikiran manusia. Timbulnya konsepsi itu ialah karena pikiran manusia ingin menghitung suatu kumpulan yang terdiri dari benda-banda tertentu. Misalnya seseorang mempunyai sekumpulan jeruk, pikirannya membuat tanggapan sehingga kemudian dapat menetapkan bahwa kumpulan itu terdiri dari 10 biji, terlepas dari ciri-ciri jeruk itu, apakah warnya kuning atau hijau, kulitnya halus atau kasar, dan rasanya manis atau asam. Bilamana tanggapan pikiran yang demikian itu juga terdapat pada kumpulan-kumoukan benda lainnya sehingga satuan-satuan dari masing-masing kumpulan dapat diperbandingkan satu lawan satu, maka sifat umum dari segenap kumpulan itu adalah bilangan menurut konsepsi pikiran manusia.
Sebagai contoh misalnya terdapat buku, pensil, penggaris, dan meja yang masing-masing berjumlah tiga. Bilangan tiga itu tidak dapat ditangkap oleh panca indra karena merupakan abstraksi yang hanya dapat dimengerti leh pikiran. Kalau kemudian pengertian abstrak itu dapat dibaca dengan mata, maka yang terlihat sesungguhnya hanyalah tanda lambangnya berupa angka, yaitu 3. Dalam hubungan ini dapatlah dikutipkan penjelasan Richard Courant dan Herbert Robbins yang menegaskan demikian :
“Diciptakan leh pikiran manusia untuk menghitung benda-benda dalam berbagai kumpulan, bilangan-bilangan tidak mempunyai pertalian dengan ciri-ciri tersendiri dari benda-benda yang dihitung itu. Bilangan enam adalah suatu abstraksi dari semua kumpulan nyata yang berisi enam benda; bilangan itu tidak bergantung pada sifat-sifat khusus apapun dari benda-benda ini atau pada lambang-lambang yang dipergunakan. Hanyalah pada suatu tahap perkembangan kecerdasan yang agak lanjut barulah watak abstrak dari ide tentang bilangan itu menjadi jelas.”
Konsepsi tentang bilangan itu kemudian juga mengalami perkembangan, terutama mengenai macam-macamnya. Pada zaman Yunani Kuno mahzab Pythagoreanisme hanya mengenal dan mengakui bilangan asli (yakni bilangan bulat yang dipakai untuk menghitung : 1, 2, 3 dan seterusnya) dan bilangan pecahan yang positif dari bilangan asli itu. Konsepsi bilangan dalam matematika modern sudah jauh lebih luas karena meliputi antara lain bilangan negatif misalnya -3, bilangan irrasional seperti , dan bilangan khayal .



ILMU TENTANG BILANGAN DAN RUANG
Bilangan bukanlah satu-satunya sasaran dari matematika, melainkan salah satu saja atau yang pkk dipelajari oleh matematika dasar. Sebuah perumusan lain, terutama definisi-definisi dalam berbagai kamus bahasa dan ensiklopedi pengetahuan umum menambahkan unsur berupa ruang sebagai sasaran matematika. Bilangan dan ruang itu biasanya dirangkaikan dalam perumusan matematika sebagai ilmu tentang bilangan dan ruang. Definisi-definisi yang demikian ini dihimpun sebagai berikut :
1. Matematika : ilmu tentang hubungan-hubungan dari bilangan-bilangan dan ruang.
(J. B. Coates, Leaders of Modern Thought, 1950,p93.)
2. Sesungguhnya, dalam makna yang sempit ini, matematika dapat disebut ilmu tentang ruang dan bilangan.
(Hollis R. Cooley, at al., Introduction t Mathematics, 1949,p10.)
3. Matematika adalah ilmu tentang ruang dan bilangan, dan merupakan dasar dari semua ilmu lainnya.
(Everyman’s Encyclpaedia, Volume 8, 1958,p376.)
4. Matematika : ilmu abstrak tentang ruang dan bilangan.
(H. W. Fowler & F. G. Fowler, eds., The Concise Oxford Dictionary of Current English, 1958,p736.)
5. Matematika : ilmu yang menguraikan ruang dan bilangan.
(A. S. Hornby, et al., The Advanced Learner’s Dictionary of Current English, 1954,p778.)
6. Wiskunde, mathesis, ilmu yang memberikan uraian tentang sifat-sifat ruang dan bilangan sebagaimana dikemukakan ileh pikiran manusia.
(De Kleine W. P. Encyclopaedie, Tweede deel, 1949,p1410.)
7. Sesungguhnya, sebuah batasan umum tentang matematika ialah bahwa ini adalah ilmu tentang bilangan. Namun, hubungan-hubungan kuantitatif adalah hanya satu segi dari matematika. Ini mencakup pula titik-titik, garis-garis, dan bidang-bidang serta hubungan mereka satu sama lain dalam ruang, tahap matematika yang ditunjuk sebagai hubungan keruangan.
(Adele Leonhardy, Intrductory College Mathematics, 1962,p581.)
8. Batasan tua bahwa matematika adalah ilmu yang menguraikan bilangan-bilangan dan ruang.
(Kenneth O. May, Elements of Modern Mathematics, 1962,p581.)
9. Matematika : Ilmu abstrak tentang ruang dan bilangan.
(The Reader’s Digest Great Encyclopaedic Dictionary, Volume 2, 1964,p552.)
10. Matematika adalah suatu ilmu yang menguraikan bilangan dan proses-proses ruang – kenyataan dalam segi-segi kuantitatifnya.)
(Samuel Smith, et al., Best Methods of Study, 1955,p84.)
11. Matematika, sebagaimana kata itu dipakai dewasa ini, telah tumbuh melampaui batasnya yang kuno sebagai ilmu tentang ruang dan bilangan.
(The Word University Encyclopedia : An Illstrated Treasury of Knowledge (Unabridged), Volume 7, 1965,p3139.)
Tambahan :
Dalam beberapa batasan matematika, sebagai gantinya kata ruang dipakai besaran ruang, bangun geometris, dan bentuk. Kata-kata pengganti itu dapat diperlakukan sebagai ruang dalam definisi-definisi berikut :
12. Matematika telah dimulai sebagai suatu aturan praktis untuk mengolah bilangan-bilangan dan besaran-besaran ruang.
(Chambers’s Encyclopaedia, Volume IX, 1955,p154.)
13. Matematika yang sebenarnya, sebagaimana kita telah sering menekankan, menguraikan bilangan-bilangan, bangun-bangun geometris, dan perumuman-perumuman atau perluasan-perluasan dari gagasan-gagasan yang menyangkut bilangan-bilangan dan bangun-bangun geometris.)
(Morris Kline, Mathematics : A Cultural Approach, 1962,p666.)
14. Sebuah batasan tua mengenai matematika ialah penelaahan tentang bilangan (aritmetika) dan tentang bentuk (geometri). Bilangan dan bentuk merupakan dua gagasan yang sangat berbeda; mengapa keduanya ini harus ditaruh bersama sebagai satu mata pelajaran?
(W. W. Sawyer, Prelude to Mathematics, 1957,p89.)
Selain itu Hollis Cooley menjelaskan sebagai berikut :
“Matematika dari masa yang lampau menyangkut terutama dengan penelaahan terhadap dua hal, bilangan-bilangan dan ruang, yang pertama merupakan lapangan dari aritmetika dan aljabar, dan yang belakangan termasuk dalam bidang geometri.”
Matematika sebagai ilmu tentang bilangan dan ruang merupakan perumusan matematika dari masa yang lampau. Sebuah karya referensi juga menyatakan bahwa ilmu tentang bilangan dan ruang merupakan batasan kuno (ancient definition).
Masa yang lampau atau kuno yang dimaksud itu tidak lain ialah zaman Yunani Kuno yang dimulai sekitar 600 tahun sebelum Masehi. Filsuf dan ahli matematika Alfred North Whitehead (1861-1947) menyatakan bahwa “bilangan-bilangan dan bentuk-bentuk geometris merupakan isi tunggal dari matematika Yunani.”
Bilamana sejarah peradaban manusia ditinjau, memang terdapat dua macam kemampuan yang diperlukan untuk kemajuan peradaban itu, yaitu menghitung dan mengukur. Dalam perkembangan sejarah peradaban manusia, pada sekitar 5000 tahun yang lampau orang telah mengembangkan dasar-dasar ilmu hitung dan ilmu ukur. Matematika pada mulanya hanyalah berupa suatu teknik menurut aturan-aturan praktis untuk mengolah bilangan-bilangan dan besaran-besaran ruang. Kemudian barulah berkembang sebagai ilmu tentang bilangan dan ruang, terutama mulai abad ke-6 sebelum Mesehi dengan munculnya ahli matematika Pythagoras.
Pada zaman Yunani Kuno sampai masanya Plato istilah matematika masih diartikan sebagai pengetahuan teratur yang rasional. Morris Kline menyatakan :
“Dalam masa Plato kata matematika berarti pengetahuan teratur yang rasional, yang padanannya modern ialah istilah Jerman Wissenschaft. Belakangan barulah dengan Aristoteles kata itu menjadi berarti mata-mata pelajaran khusus yang kita pelajari dalam pelajaran-pelajaran matematika.”
Jadi, mulai masa hidupnya Aristoteles luas pengertian matematika tidak lagi meliputi segenap pengetahuan sesuai dengan asal-usul perkataannya, melainkan menjadi terbatas pada pengetahuan matematika yang sebenarnya. Penyempitan makna ini mengarah kepada bilangan dan ruang karena pengetahuan yang tertua itu sesungguhnya untuk keperluan pengukuran-pengukuran tanah (misalnya sehabis banjir) dan perhitungan-perhitungan kalender. Dengan demikian, matematika lalu tegas-tegas dibedakan dengan bidang-bidang pengetahuan atau cabang-cabang ilmu lainnya. Oleh karena matematika mempelajari bilangan, titik, garis, sudut, segitiga, dan berbagai bentuk yang menyangkut ruang, maka akhirnya terciptalah pengertian matematika sebagai ilmu tentang bilangan dan ruang.
Perumusan arti yang lebih sempit itu bertahan sampai abad ke-16 dan bahkan dapat dikatakan sampai sekarang masih dianut dalam sebagian besar kamus bahasa maupun ensiklopedia pengetahuan umum.
Persoalan yang kini perlu dibahas lebih lanjut ialah pengertian ruang. Filsuf dan ahli matematika Gottfried Wilhelm Leibniz merumuskannya sebagai “susunan dari benda-benda yang berada pada waktu yang sama.”
Dalam pengertian umum dan kehidupan sehari-hari ruang diartikan daerah atau lingkungan yang mempunyai tiga dimensi, yaitu sifat panjang, lebar, dan tinggi. Suatu bidang mempunyai dua dimensi berupa panjang dan lebar, sedang ruang mencakup tiga dimensi panjang, lebar, dan tinggi.
Dari sudut matematika sebuah kamus merumuskannya sebagai “himpunan dari semua titik”. Menurut John Freund, ruang menunjuk pada suatu kumpulan unsur-unsur yang untuk gampangnya disebut titik-titik yang dan yang ditentukan sebagai dimensinya ialah banyaknya bilangan yang diperlukan untuk menetapkan letak setiap titik.
Pada zaman Yunani Kuno segi-segu ruang dipelajari oleh para ahli secara mendalam sebagai geometri atau ilmu ukur. Ilmu ini mencapai puncaknya ditangan Euclid yang menulis dan menyusunnya secara sistematis dalam 13 buku. Dalam uraian Euclid, pengertian ruang adalah seperti yang tampak sehari-hari dengan tiga dimensinya beserta bidang yang hanya mempunyai 2 dimensi. Ruang yang demikian itu kini disebut Euclidean space (ruang Euclid).
Dalam perkembangan selanjutnya ternyata ruang Euclid bukanlah satu-satunya ruang bagi geometri. Masih ada berbagai ragam ruang lainnya yang kini dinamakan nn-Euclidean space (ruang non-Euclid). Pengertian ruang dalam geometri modern ialah ‘”suatu himpunan unsur-unsur atau titik-titik yang memenuhi suatu himpunan postulat”.
Timbulnya pengertian ruang non-Euclid bermula pada dalil ke-5 Euclid tentang kesejajaran. Telah lama orang merasa curiga terhadap kebenaran dalil itu bahwa melalui sebuah titik di luar sebuah garis hanya dapat ditarik satu garis lurus yang sejajar dengan garis yang pertama itu. Dalam hal ini terjadi dua kemungkinan. Pertama, tidak mungkin dibuat garis yang sejajar dengan garis yang pertama. Kedua, melalui sebuah titik dapat dibuat lebih daripada satu garis yang sejajar dengan garis yang pertama.
Dalam abad ke-19 terjadilah penambahan terhadap pengertian ruang Euclid. Seorang ahli matematika George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) membuktikan adanya ruang eliptik (elliptic space) yang tidak ada garis sejajarnya. Pada ruang ini setiap garis akan bertemu dengan garis lainnya dan sebuah segitiga mempunyai sudut yang jumlahnya lebih besar daripada 180 derajat dengan maksimum 270 derajat (jumlah dari tiga segitiga siku-siku)
Seorang ahli matematika lain Nikolas Ivanovitch Lobatchewsky (1793-1856) mengembangkan suatu ragam ruang lain yang disebut ruang hiperbolik (hyperbolic space). Pada ruang ini dari sebuah titik dapat ditarik lebih daripada satu garis sejajar, sedang segitiganya mempunyai sudut yang jumlahnya kurang daripada 180 derajat.
Dalam abad ke-19 Felix Klein (1849-1919) membuat sumbangan –sumbangan penting pada geometri yang berdasarkan ruang eliptik, sedang Einstein dalam abad ke-20 memakainya untuk memperkembangkan teori relativitasnya. Ruang Euclid sendiri selanjutnya juga disebut ruang parabolik (parabolic space).

MATEMATIKA MEMPELAJARI BESARAN DAN KELUASAN
Pengertian bilangan dan ruang ternyata mengalami abstraksi lebih lanjut. Kedua hal itu dalam satu pengertian istilahnya ialah quantity (kuantitas/besaran). Batasan matematika sebagai ilmu tentang kuantitas/batasan juga berasal dari masa yang silam dan pertama diberikan oleh Aristoteles. Sampai sekarang definisi ini masih dipakai pula dalam kamus-kamus dan ensiklopedi-ensiklopedi dengan diberi tambahan atau kelengkapan seperlunya. Berbagai definisi tentang matematika sebagai ilmu tentang kuantitas/besaran dapat dilihat sebagai berikut:
1. “Matematika, ilmu tentang besaran” merupakan sebuah gagasan tua yang kembali kepada Aristoteles.
(Florian Cajori, A History of mathematics, 1958,p285.)
2. Matematika : ilmu yang membicarakan pengukuran, sifat-sifat, dan hubungan-hubungan dari besaran-besaran, termasuk aritmetika, geometri, aljabar, dan lain-lainnya.
(C.L. Barnhart & Jess Stein, eds., The American College Dictionary, 1961,p751.)
3. Matematika adalah suatu ilmu yang berdasarkan pada pemikiran dalam besaran-besaran.
(The Book of Knowledge : The Children’s Encyclopedia, Volume 19, 1961,p7001.)
4. Matematika : penelaahan tentang besaran-besaran bilangan dan hubungan-hubungan mereka, tentang besaran-besaran ruang dan hubungan-hubungan mereka, dan tentang berbagai abstraksi-abstraksi mengenai hubungan-hubungan yang demikian.
(William Bridgwater, ed., The Columbia-Viking Desk Encyclopedia, Volume Two, 1960,p833.)
5. Matematika : ilmu yang membicarakan tentang besaran.
(Collin’s National Dictionary and Encyclopedia, tanpa tahun,p204.)
6. Matematika adalah ilmu tentang besaran atau keluasan.
(Dikutip dalam Tomlinson Fort, The American Mathematical Monthly, November 1940,p606.)
7. Wiskunde, mathematica, mathesis, ilmu tentang hakekat dan hubungan satu sama lain dari besaran-besaran kuantitatif dan ruang(bilangan, dan lain-lainnya.)
(John Kooy, Encyclopedie voor Iedereen, 1949,p1262.)
8. Matematika adalah penelaahan yang meguraikan besaran-besaran bilangan atau ruang, sifat-sifat mereka, dan hubungan-hubungan meraka, serta aturan-aturan formal yang mengatur pengolahan-pengolahan (seperti menyusun dan menggabungkan) dalam sistem lambang ini.
(Sheldon J. Lachman, The Foundations of Science, 1969,p63.)
9. Matematika mengacu pada suatu penelaahan tentang besaran-besaran dalam bentuk matematika murni, yang menguraikan hubungan yang tepat dari berbagai jenis besaran-besaran dalam bentuk diperumum atau abstrak, atau matematika terapan, yang terdiri dari penerapan perumuman-perumuman ini pada peristiwa-peristiwa yang nyata dan praktis.
(The Modern Encyclopedia Illustrated, Volume Five, 1963,p1640.)
10. Matematika : ilmu yang membicarakan tentang besaran.
(J.M. Parrish & John R. Crossland, eds., The Westminster Dictionary, tanpa tahun,p604.)
11. Batasan umum, diantara orang-orang seperti kepala-kepala sekolah biasa, masihlah bahwa matematika adalah ilmu tentang besaran.
(C.S. Peirce, “The Essence of Methematics”, dalam The World of Mathematics, Volume 3, 1956,p1773.)
12. Telah terbiasa dikatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang “besaran”. “Besaran” merupakan sebuah kata yang kabur, tetapi untuk kepentingan perbincangan kita dapat menggantinya dengan kata “bilangan”.
(Bertrand Russell, Introduction to Mathematical Philosophy, 1956, p195.)
13. Matematika : ilmu yang membicarakan tentang pengukuran, sifat-sifat, dan hubungan-hubungan dari besaran-besaran, termasuk aritmetika, geometri, aljabar, dan lain-lainnya.
(Jess Stein, ed., The Random House American Everyday Dictionary, 1961,p62.)
14. Dari zaman dahulu matematika telah dipandang sebagai ilmu tentang besaran, atau tentang ruang dan bilangan.
(Herman Weyl, Philosophy of Mathematics and Natural Science, 1959,p62.)
15. Matematika adalah penelaahan tentang besaran-besaran dan hubungan-hubungan melalui pemakaian bilangan-bilangan dan lambang-lambang.
(The World Book Encyclopedia, Volume 13, 1964,p238.)
16. Wiskunde, mathesis, ilmu, yang berhubungan dengan sifat-sifat dari besaran-besaran yang dianggap sebagai hal-hal yang berdiri sendiri.
(R. Zondervan, red., Nederlandse Algemene Encyclopedie, tanpa tahun,p936.)
Besaran atau kuantitas menurut sebuah kamus matematika ialah suatu jumlah atau suatu bilangan ataupun suatu ungkapan yang mengandung nilai. Di sini nilai berarti sesuatu bilangan apa pun.
Menurut Bertrand Russell, istilah quantity adalah suatu kata kabur. Oleh karena itu, untuk memudahkan pembahasan ia lebih suka menggantinya dengan kata bilangan. Seorang ahli matematika lain Herman Weyl menyatakan bahwa sesungguhnya dalam perkembangan matematika sendiri diragukan apakah kuantitas merupakan suatu pengertian yang penting. Oleh karena itu, ia berpendapat bahwa kita tak perlu cemas mengenai apa yang secara pasti dimaksudkn dengan kuantitas itu.
Sebuah istilah lain yang juga dipakai untuk menampung pengertian bilangan dan ruang dalam batasan-batasan matematika ialah istilah magnitude (keluasan). Istilah ini sering dipersamakan artinya atau dianggap sepadan dengan quantity.
Mengenai pengertian keluasan yang boleh dikatakan searti dengan basaran, Keyser menjelaskan sebagai berikut :
“Salah satu yang tertua, sekaligus juga yang paling dikenal, dari batasan-batasan memandang matematika sebagai ilmu tentang keluasan, dalam hal ini kaluasan, termasuk jumlah besar sebagai suatu jenis yang istimewa, berarti apa saja yang mampu mengalami penambahan dan pengurangan serta pengukuran.”
Demikianlah bilangan, besaran, ruang, dan keluasan merupakan sasaran-sasaran yang ditelaah oleh matematika. Sasaran-sasaran itu seringkali disebut secara bersama-sama pada definisi matematika dalam kamus dan ensiklopedi sehingga perumusannya campur aduk kurang cermat. Berbagai definisi ini dapat dilihat sebagai berikut :
1. Matematika : suatu istilah yang bersifat mencakup untuk sejumlah cabang pengetahuan yang menguraikan keluasan-keluasan, bilangan-bilangan, besaran-besaran dan hubungan-hubungan mereka.
(The American Educator Encyclopedia, Volume 7,1955,p2278A.)
2. Matematika : ilmu tentang penalaran logis yang diterapkan pada bilangan-bilangan, ruang, dan besaran.
(the American Peoples Encyclopedia: A Comprehensive Modern-Mined Reference Work, Volume 13, 1962/1963,p105.)
3. Sebuah kumpulan peralatan pikiran yang dengannya Manusia telah mempelajari selama suatu jangka waktu lama untuk memecahkan masalah-masalah yang berhubungan dengan bilangan dan keluasan.
(S. Graham Brade-Birks & Frank Higenbottam, Concise Encyclopedia of General Knowledge, 1956,p322.)
4. Matematika adalah penelaahan tentang bilangan-bilangan, bentuk-bentuk, dan lambang-lambang. Hal ini juga meliputi aturan-aturan untuk menangani hal-hal ini.
(Bryan Bunch, “Mathematics”, The New Book of Knowledge, Volume 12, 1973,p154.)
5. Matematika : ilmu tentang keluasan dan bilangan, serta tentang semua hubungan-hubungan mereka.
(Chambers’s Twentieth Century Dictionary, 1950,p558.)
6. Matematika : ilmu tentang besaran dan ruang.
(Collins’New English Dictionary, 1959,p622.)
7. Matematika : ilmu tentang bilangan dan besaran.
(The Concise “Standard” Dictionary of the English Language, 1945,p316.)
8. Penelaahan teratur tentang susunan, bilangan, besaran, dan bentuk.
(Cowles Encyclopedia of Science, Industry and Technology, 1969,p322.)
9. Penelaahan logis tentang besaran, bentuk, susunan, dan keluasan; teristimewa, metode-metode untuk menyingkap, dengan pemakaian pengertian-oengertian yang dirumuskan secara teliti dan lambang-lambang yang tetap, sifat-sifat dan hubungan-hubungan yang tepat dari besaran-besaran dan keluasan-keluasan, baik dalam matematika murni yang abstrak atau dalam pertalian-pertaliannya yang praktis, matematika terapan.
(Funk & Wagnalls Stanrad dictionary of the english Language, Volume 2, 1964,p786.)
10. Tampaknya bagi saya, satu-satunya sasaran-sasaran dari ilmu-ilmu abstrak atau dari pembuktian ialah besaran dan bilangan.
(David Hume sebagaimana dikutip dalam Abraham S. Luchons & Edith H. Luchins, Logical Foundations of Mathemtics for Behavioral Scientists, 1965,p321.
11. Penelaahan logis tentang bentuk, susunan, besaran, dan banyak pengertian-pengertian yang bertalian.
(Glenn James & Robert C. James, eds., Mathematics Dictionary, 1976,p239.)
12. Wiskunde menyelidiki hubungan-hubungan antara bilangan-bilangan, besaran-besaran ruang, dan himpunan-himpunan.
(De Katholieke Encyclopaedie, Vier-en-twintigste Deel, 1955,p868.)
13. Suatu bidang ilmiah yang menyangkut sifat-sifat dari hubungan-hubungan di antara, dan aturan-aturan untuk mengolah bilangan-bilangan, keluasan-keluasan, dan nilai-nilai kuantitatif.
Sheldon J. Lacman, The Foundations of Science, 1969,p107.
14. Ilmu tentang besaran dan bilangan serta tentang langkah-langkah pengerjaan yang melibatkan mereka.
(Macmillan’s Modern Dictionary, 1947,p678,)
15. Uraian teratur tentang keluasan, hubungan-hubungan antara bangun-bangun dan bentuk-bentuk, dan hubungan-hubungan antara besaran-besaran yang diungkapkan secara simbolik.
(The Random House Dictionary of The English Language: College Edition, 1968,p825.)
16. Wiskunde, Mathematica, Mathesis, ilmu yang berhubungan dengan besaran-besaran dan keluasan-keluasan sebagi hal-hal yang berdiri sendiri.
(Van Dale’’s Nieuw Groot Woordenboek der Nederlandse Taal, 1950,p2121.)
17. Matematika ; Suatu ilmu yang menguraikan hubungan dan simbolisme dari bilangan-bilangan dan keluasan-keluasan serta itu meliputi langkah-langkah pengerjaan dan penyelesaian soal-soal kuantitatif.
(Webster’’s Third New International Dictionary of the English Language (Unabriged), 1966,p1393.)
18. Matematika : Ilmu yang membicarakan tentang besaran-besaran dan keluasan-keluasan, dengan pemakaian lambang-lambang, dan pengukuran, dan hubungan-hubungan, dan sifat-saifat dari besaran-besaran dan keluasan-keluasan itu.
(The Winston Dictionary of Home, School and Office, 1951,p437.)
19. Matematika biasanya dianggap sebagai suatu cabang dari kegiatan manusia yang menyangkut penyusunan-penyusunan yang logis dari hal-hal demikian seperti bilangan, besaran, dan bentuk.
(The Word Book Encyclopedia, Volume 11, 1955,p4878.)
20. Matematika, ilmu tentang sifat-sifat dari bilangan-bilangan dan dari keluasan-keluasan, diperkembangkan dalam masa lampau, dipakai oleh orang-orang Mesir, Yunani, Arab, dan Indian Maya.
(The Word Wide Encyclopedia, Volume VI, 1962, tanpa pagina.)

MATEMATIKA SEBAGAI ILMU TENTANG HUBUNGAN
Ahli Matematika Jerman yang terbesar dalam abad ke-19 Carl Friedrich Gauss (1777-1855) berpendapat bahwa “matematika semata-mata menyangkut perincian dan perbandingan dari hubungan-hubungan”. Menurut Gauss sebuah keluasan tersendiri tidaklah mungkin dipelajari. Misalkan sebuah garis tunggal tidak memberikan pengetahuan apa-apa. Tetapi, kalau sebuah garis lain diletakkan di sebelahnya, maka dapatlah ditelaah berbagai hubungan yang ada.
Pengertian hubungan dalam matematika menurut John Hafstrom bertalian erat dengan artinya dalam pemakaian sehari-hari. Sebuah hubungan mencakup dua hal atau lebih yang memiliki sifat tertentu yang umum di antara mereka, atau yang sama-sama tercakup dalam suatu himpunan tertentu. Contoh-contoh hubungan dalam matematika misalnya ialah kesamaan (dua buah bilangan dapat dianggap berhubungan karena besarnya yang sama), perimbangan, lebih besar, lebih kecil, atau kesejajaran. Henry Poincare menyatakan bahwa ilmu sesungguhnya tidak dapat mengetahui benda-benda, melainkan hanyalah hubungan-hubungan. Mengerti adalah mengerti hubungan-hubungan; memiliki pengetahuan adalah berarti memiliki pengetahuan tentang hubungan-hubungan, dan hubungan-hubungan itu menjadi pula pusat perhatian dari matematika. Tetapi, hal yang ingin diketahui oleh para ahli matematika menurut Keyser ialah hubungan abstrak yang pasti, hubungan-hubungan fungsional yang sepenuhnya ditentukan atau dapat ditentukan. Selanjutnya ia menyatakan hal yang berikut :
“Adalah kumpulan hubungan-hubungan yang dapat dipikirkan secara logis itulah yang menjadi alam semesta dari ahli matematika, suatu alam semesta tak terhingga yang tidak terbatas, dunia-dunia dalam dunia-dunia dari dunia-dunia dalam dunia-dunia keajaiban yang terkhayalkan lebih kayanya mengenai isi pengetahuannya daripada dunia indera luar yang manapun.”
Berbagai perumusan lainnya tentang matematika sebagai ilmu yang menelaah hubungan-hubungan dapat dibaca sebagai berikut :
1. Matematika : mata pelajaran yang menguraikan hubungan-hubungan diantara keluasan-keluasan.
(Carl Friedrich Gauss sebagaimana dikutip dalam Jane Muir,Of Men and Numbers, 1962,p194.)
2. Matematika, ilmu yang di dalamnya hubungan-hubungan yang diketahui diantara keluasan-keluasan dikenakan proses-proses tertentu yang membuat hubungan-hubungan lainnya dapat diturunkan.
(The Golden Home High School Encyclopedia, Volume XI, 1961,p1579.)
3. Matematika adalah ilmu tentang hubungan dari keluasan-keluasan. Keluasan adalah segala sesuatu yang dapat dibuat sama atau tak sama dengan hal lain.
(Herman Grassman sebagaimana dikutip dalam Israel H. Rose, A Modern Introduction to College Mathematics, 1959,p105.)
4. Ilmu-ilmu formal yang murni, logika dan matematika, menguraikan hubungan-hubungan itu yang bebas atau dapat bebas dari isi khusus atau materi dari benda-benda.
(Hermann Hankel sebagaimana dikutip dalam Howard Eves & Carroll V. Newsom, An Introduction to the Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, 1964,p176.)
5. Ini adalah penelaahan tentang hubungan-hubungan, atau perimbangan bagaimana hal-hal yang berbeda berbanding satu sama lain.
(Illustreted World Encyclopedia, Volume 14, 1965,p3332.)
6. Matematika barang kali dapat lebih baik dianggap sebagai suatu ilmu tentang urutan atau, bahkan lebih tepat, sebagai suatu ilmu tentang hubungan-hubungan.
(J. R. Kantor, Psychology and Logic, Volume II, 1990,p269.)
7. Matematika adalah penelaahan tentang bangunan-bangunan pikiran (seringkali dapat diterapkan pada masalah-masalah yang nyata), dan dengan itu penemuan dari hubungan-hubungan di antara bagian-bagian dari bangunan-bangunan ini, yang sebelumnya tak diketahui.
(C. S. Peirce sebagaimana dikutip dalam Howard Eves & Carroll V. Newsom, An Introduction to the Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, 1964,p177.)
8. Matematika adalah ilmu tentang hubungan-hubungan.
(Israel H. Rose, A Modern Introduction to College Mathematics, 1959,p105.)
9. Matematika (Yunani mathematica), adalah secara luas, ilmu yang di dalamnya hubungan-hubungan yang diketahui diantara keluasan-keluasan dikenakan proses-proses tertentu yang membuat hubungan-hubungan lainnya dapat ditentukan.
(The Standard American Encyclopedia, Volume VIII, 1937,tanpa pagina.)
MATEMATIKA SEBAGAI ILMU TENTANG BENTUK
Dari hubungan kemudian beberapa ahli matematika berbicara tentang pola. Tugas dari ahli matematika ialah menemukan macam-macam hubungan yang terjadi secara luas dalam alam dan menganalisis pola-polanya sehingga pola-polanya itu dapat dikenal bilamana muncul. Bruce Meserve dan rekannya menyatakan sebagai berikut :
“Ahli-ahli matematika senang mencari pola-pola dan perumuman-perumuman dalam semua cabang pengetahuan mereka dalam aritmetika, dalam aljabar, dan dalam geometri. Suatu pencarian pola-pola yang demikian itu bukan saja akan menarik, melainkan juga dapat membantu seseorang mengembangkan pemahaman tentang matematika sebagai suatu keseluruhan.”
Seorang matematikawan yang secara tegas merumuskan matematika sebagai pengetahuan yang menelaah pola ialah W. W. Sawyer. Batasannya berbunyi sebagai berikut :
“Matematika adalah penggolongan dan penelaahan tentang semua pola yang mungkin. Pola di sini dipakai dalam suatu cara yang tidak setiap orang dapat menyetujuinya. Ini dipahami dalam suatu makna yang amat luas, mencakup hampir setiap macam keteraturan yang dapat dikenali oleh pikiran.”
Perwujudan-perwujudan dalam alam mempunyai berbagai pola atau keteraturan. Pola-pola yang sama sering-sering terkandung dalam aneka benda-benda atau keadaan-keadaan yang tampaknya berbeda-beda. Tetapi, sekali pola alamiah yang sama itu diketahui dan dipahami oleh ahli matematika dapatlah diwujudkan menjadi pola dalam matematika.
Karena kesamaan pola itu Poincare menyatakan bahwa matematika adalah seni tentang memberikan nama yang sama kepada benda-benda yang berbeda.
Batasan dari O. G. Suton yang berbunyi :
“Matematika adalah suatu penelaahan tentang pola-pola dari ide-ide, yang dilakukan dengan suatu teknik khusus yang telah diperkembangkan secara tinggi, yang dipercayai tak dapat salah.”
Dari batasan matematika sebagai ilmu tentang pola-pola orang melangkah lebih lanjut sampai kepada ilmu tentang bentuk. Edna Kramer menegaskan sebagai berikut :
“Sudut pandangan yang kami baru saja kembangkan pastilah mengungkapkan matematika sebagai suatu ilmu tentang bentuk, yang tidak perlu dibatasi pada bilangan, ruang, besaran, atau pengukuran, melainkan sebaliknya bersifat mencakup semuanya, termasuk logika, ilmu-ilmu murni maupun ilmu-ilmu terapan yang untuknya ilmu-ilmu murni menyediakan bentuknya.”
Pengertian bentuk di sini bukanlah gambar-gambar bidang dan bentuk-bentuk ruang sebagaimana lazim dalam geometri. Arti yang lebih baru dari bentuk dalam matematika menunjukkan pada rakitan dari hubungan-hubungan dan teori-teori. Ini berkembang, tidak dari suatu penelaahan tentang bentuk ruang sebagai demikian, melainkan dari analisis mengenai pembuktian-pembuktian yang terjadi dalam geometri, aljabar, dan pembagian-pembagian lainnya dari matematika.
Menurut H. M. Dadourian, pengertian tentang bentuk memegang suatu peranan yang sangat penting dalam studi matematika. Misalnya bentuk dari suatu rumus matematika adalah jauh lebih penting daripada lambang-lambang yang dipakai dalam rumus itu. Sesuatu lambang dapat diganti dengan sebuah tanda lainnya apapun tanpa mengubah berlakunya rumus itu.
Definisi-definisi tentang matematika sebagai ilmu tentang bentuk dapat dilihat sebagai berikut :
1. Matematika dapat diberikan batasan sebagai ilmu tentang bentuk yang abstrak. Matematika menelaah susunan yang diabstraksikan dari benda-benda khusus dan gejala-gejala yang menunjukkannya, dan dalam suatu bentuk yang diperumum.
(Harvard Committee of 1945 sebagaimana dikutip dalam Howard Eves & Carroll V. Newsom, An Introduction to the Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, 1964,pix.)
2. Barangkali pelukisan yang paling sedikit tak memadai tentang lingkupan umum dari Matematika Murni modern – saya tidak akan menyebutkannya sebuah batasan – akan mengatakan bahwa ini menguraikan bentuk, dalam suatu makna yang sangat umum dari istilah itu.
(E. W. Hobson sebagaimana dikutip dalam Howard Eves & Carroll V. Newsom, An Introduction to the Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, 1964,pix.)
3. Ilmu yang meliputi penelaahan yang praktis dan teoritis kedua-duanya tentang bentuk, ruang, dan bilangan.
(Illustrated World of Science Encyclopedia, Volume 12, 1971,p184.)
4. “Matematika” adalah ilmu yang menguraikan urutan murni atau bentuk terlepas dari isi apa pun.
(Herbert L. Searles, Logic and Scientific Methods, 1968,p51.)

MATEMATIKA SEBAGAI ILMU YANG BERSIFAT ABSTRAK DAN DEDUKTIF
Perumusan Matematika tidak selesai dengan ditentukannya hubungan , pola, bentuk, dan rakitan sebagai sasarannya. Keempat sasaran itu hanyalah semakin menegaskan bahwa matematika menyangkut pengertian-pengertian abstrak. Dalam matematika dewasa ini, sifat-sifat dari pengertian abstrak itulah yang ditelaah. Bahkan menurut Salomon Bochner, matematika tidak berhubungn dengan perwujudan-perwujudan dan benda-benda dari dunia luar, melainkan hanya dengan hal-hal dan hubungan-hubungan yang merupakan gambaran-gambaran yang diciptakannya sendiri. Dengan ini lahirlah pendapat yang menganggap matematika sebagai penelaahan tentang sistem-sistem abstrak, yakni sebagai penelaahan tentang ‘permainan-permainan’ yang dimainkan dengan sasaran-sasaran abstrak yang perilakunya dicirikan dengan kumpulan-kumpulan aturan yang ditentukan.
Pendapat itu adalah sesuai dengan pendirian filsuf Charles Sanders Peirce (1939-1914) yang menyatakan bahwa matematika tidak berhubungan dengan keadaan senyatanya dari benda-benda, melainkan semata-mata dengan keadaan pengandaian dari benda-benda. Batasannya tentang matematika berbunyi sebagai berikut :
“Matematika adalah penelaahan tentang apa yang benar mengenai keadaan pengandaian dari benda-benda. Itulah sari pati dan batasannya.”
Dengan demikian, matematika tergolong sebagai ilmu yang bersifat abstrak atau sering kali disebut juga matematika murni. Karena ciri-cirinya yang abstrak dan murni itulah Bertrand Russell membuat perumusan dalam 1901 yang sampai sekarang sangat terkenal dan bunyinya demikian :
“Dengan demikian matematik dapat didefinisikan sebagai mata pelajaran yang didalamnya kita tak pernah mengetahui apa yang sedang kita bicarakan maupun apakah yang kita katakan benar.”
Perumusan Russell yang tampaknya seperti sebuah olok-olok itu menurut beberapa ahli matematk sesungguhnya merupakan suatu lukisan yang cermat tentang matematika murni, sedang Bell menyatakan bahwa perumusan itu menekankan sifat abstrak yang sepenuhnya dari matematika. Perumusan Russell itu sesungguhnya bukan suatu definisi matematika melainkan sebuah pelukisan dengan semacam sajak pendek tentang ciri-ciri matematika murni atau matemaatika abstrak yang tumbuh dalam abad ke 20 ini.
Makna perumusan Russell itu ialah bahwa setiap sistem matematika sebagai landasannya yang penghabisan berpangkap pada unsur-unsur yang tidak diterangkan lebih lanjut. Dengan kata lain, semua perumusan dalam matematika pada akhirnya didasarkan pada istilah-istilah yang tak diuraikan artinya. Istilah-istilah itu dalam bentuknya sebagai lambang-lambang belaka tidak memiliki arti dari dunia kenyataan, bahkan boleh dikataka kosong dari sesuatu pengertian atau tidak mengandung isi apa-apa. Oleh karena itu, para ahli matematika tidak mengetahui apa yang sedang dibicarakannya dalam matematika.
Selanjutnya dalam melakukan langkah-langkah pengerjaan terhadap istilah-istilah yang tak diuraikan artinya itu, para ahli matematika membuat kesimpulan-kesimpulan atau pembuktian-pembuktian berdasarkan berbagai pernyataan yang telah ditetapkan dimuka. Pada tahap terakhir mereka terpaksa harus berhenti pada pernyataan-pernyataan yang tak dibuktikan. Pernyataan-pernyataan pangkal yang tak dibuktikan ini lazimnya dinamakan aksioma atau postulat. Misalnya pernyataan bahwa : “keseluruhan adalah lebih besar dari pada bagiannya yang manapun” atau pernyataan bahwa “ melalui dua titik yang berbeda hanya dapat ditarik satu dan hanya satu garis lurus”. Oksioma atau postulat itu adalah asas –asas dasar yang kini dianggap sebagai kata sepakat dalam matematika yang tidak dibuktikan kebenarannya. Oleh karena itu, dalam matematika murni apabila para ahli membuat kesimpulan atau menyusun dalil-dalil dari oksioma atau postulat itu, mereka juga tidak mengetahui apakah yang dikatakan itu benar atau tidak dalam hubungannya dengan dunia kenyataan. Kesimpulan atau dalil ini hanyalah berlaku sesuai dengan deduksi yang dijalankan menurut hukum-hukum logika.
Dari uraian tersebut di atas ternyata matematika selain merupakan suatu ilmu yang bersifat abstrak juga bersifat deduktif. Sebagai ilmu yang deduktif, hal yang lebih utama bagi matematika bukanlah sasaran-sasarannya, melainkan metode logika atau metode pembuatan kesimpulan yang dipakai. Oleh karena itu, dalam abad ke 20 ini terdapat pendirian yang memandang matematika sebagai suatu metode pemikiran. Dalam pernyataan Morris Kline :
“Terutama matematika adalah suatu metode penyelidikan yang dikenal sebagai pemikiran berdasarkan postulat. Metode itu sendiri dari merumuskan secara seksama definisi-definisi tentang pengertian-pengertian yang akan dibahas dan menyebutkn secara tegas patokan pikir-patokan pikir yang akan merupakan dasar bagi penalaran. Dari definisi-definisi dan patokan pikir-patokan pikir ini diturunkanlah kesimpulan-kesimpulan dengan menerapkan logika paling ketat yang mngkin dipakai orang. “
Pembuatan kesimpulan dari patokan pikir-patokan pikir yang telh ditentukan dimuka itu lazim disebut penalaran deduktif, penyimpulan secara deduktif, atau acap kali deduksi saja. Matematika menyangkut penyimpulan dari kumpulan aksioma yang ditetapkan pada berbagai sistem matematika, dan kesimpulan-kesimpulannya hanyalah diterima setelah ditetapkan berdasarkan deduksi. Tanpa pembuktian deduktif yang paling ketat dari patokan pikir-patokan pikir yang disebutkan secara tegas, maka tidak ada matematika menurut Bell.
Berhubungan dengan itu, matematika kadang-kadang dianggap sebagai suatu cabang dari ilmu tentang pembuatan kesimpulan. Penegasan tentang matematika sebagai ilmu yang menyangkut pembuatan kesimpulan pertama-tama dinyatakan oleh ahli matematika Benjamin Peirce (1809-1880).
Dalam karangannya yang terbit pada 1881 dirumuskannya bahwa “matematika adalah ilmu yang menarik kesimpulan-kesimpulan yang perlu”.
Perumusan Peirce itu sebagaaimana perumusan Russell tentang matematika murni di muka juga sangat terkenal dan kedua-duanya merupakan ucapan yang paling banyak dikutip oleh pengarang-pengarang buku matematika. Kalau perumusan Russell menekankan sifat matematika yang abstrak, perumusan Peirce menunjukkan sifat deduktif dari matematika. Tetapi, seperti halnya perumusan Russell yang sesungguhnya tidak menjelaskan apakah matematika itu, perumusan Peirce ini juga agak kabur dan dapat meliputi banyak hal yang bukan matematika. Misalnya belum jelas apakah yang dimaksud dengan “kesimpulan-kesimpulan yang perlu” itu.
Selanjutnya, membuat kesimpulan-kesimpulan juga dilakukan oleh para hakim dalam memutuskan perkara-perkara di pengadilan.
Demikianlah, matematika sejak jaman kuno sampai masa modern ini telah berkembang dari ilmu yang menelaah bilangan dan ruang menjadi ilmu yang bersifat abstrak dan deduktif yang menelaah pengertian-pengertian abstrak dengan langkah penyimpulan yang logis dan metode pemikiran berdasarkan postulat. Sebagai kelanjutan dari definisi Peirce kemudian timbullah berbagai definisi serumpun yang melengkapi atau menyempurnakannya, antara lain :
1. Matematika adalah ilmu tentng kesimpulan-kesimpulan yang perlu.
(W. C. Arnold, “How to Study Mathematics”, The American Mathematical Monthly, December 1940,p705.)
2. Matematika : ilmu abstrk yang bertalian dengan logika dan didasarkan paa sebuah proses asasi; ini melangkah maju dari suatu kumpulan patokan pikir-patokan pikir yang disebutkan secara tegas (aksioma-aksioma atau postulat-postulat) dan menurunkn dari mereka pernyataan-pernyataan (dalil-dalil) tentang hubungan.
(William Bridgwater & Seymour Kurtz, The Columbia Encyclopedia, Volume III, 1963,p1329.)
3. Matematika itu sendiri sebegitu jauh telah dipandang terdiri dari suatu kumpulan sistem-sistem pemikiran yang berdiri sendiri-sendiri secara logis walaupun sering kali bertautan.
(Hollis R. Cooley, et al., Introduction to Mathematics: A Survey Emphasizing Mathematical Ideas and Their Relations to Other Fields, 1949,p597.)
4. Matematika murni adalah suatu kumpulan teori-teori deduktif hipotetis, masing-masing terdiri dari seuah sistem tertentu dari pengertian-pengertian primitif, tak diterangkan, atau simbol-simbol dan patokan pikir-patokan pikir primitif, tak dibuktikan, tetapi ajeg (umumnya disebut aksioma-aksioma) bersama-sama dengan akibat-akibat mereka yang dapat diturunkan secara logis mengikuti proses-proses deduktif yang tegar tanpa bantuan ilham.
(G. D. Fitch sebagaimana dikutip dalam Horward Eves & Carroll V. Newsom, An Introduction to the Fondations and Fundamental Conceps of Mathematics, 1964,p177.)
5. Matematika adalah usaha yang mempunyai tujuannya untuk menetapkan pernyataan pengandaian. Dengan suatu pernyataan pengandaian saya maksudkan pernyataan yang dinyatakan atau mengaku dinyatakan dalam bentuk p mengandung q, dalam hal ini p mengacu pada satu atau lebih pernyataan (disebut aksioma-aksioma, postulat-postulat, patokan pikir-patokan pikir, atau pernyataan-pernyataan primitif), q mengacu pada suatu pernyataan-pernyataan (umumnya disebut suatu dalil), dan kata kerja mengandung dimaksudkan untuk menegaskan bahwa q dapat diturunkan secara logis dari p.
(Cassius J. Keyser, “ The Humanistic Bearings of Mathematics”, dalam W.D. Reeve, ed., Mathematics in Modern Life. 1931,p36.)
6. Bagaimanapun juga, postulat-postulat dan semua dalil yang dapat diturunkan dikatakan merupakan ilmu matematika.
(Edna E Kramer, The Main Stream of Mathematics, 1952,p250.)
7. Penelaahan deduktif tentang bentuk, besaran, dan ketergantungan : dua bidang utama adalah matematika terapan dan matematika murni, yang terdahulu timbul dari penelaahan tentang gejala-gejala fisik, yang belakang meliputi penelaahan intrinsik tentang rakitan-rakitan matematik.
(Daniel N. Lapedes, ed., McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms, 1974,p910.)
8. Matematika menguraikan hanya satu hal, proses berpikir, atau lebih tepat, penalaran yang menjurus kepada pembuktian.
(Denning Miller, Popular Mathematics,1942,pviii.)
9. Karena ini menjadi jelas bahwa matematika adalah semata-mata cabang ilmu terbaik dari semuanya yang menarik kesimpulan-kesimpulan yang secara logis dikandung oleh sesuatu himpunan tertentu dari oksioma-oksioma atau postulat-postulat.
(Ernest Nagel & James R. Newman, Godel’s Proof, 1958,p11.)
10. Ilmu-ilmu matematika yakni ilmu-ilmu itu yang mempergunakan penalaran logis dengan bantuan lambang-lambang dan yang menyangkut pengembangan metode-metode dari langkah-langkah pengerjaan yang mempergunakan lambang-lambang demikian.
(National Science Foundation, Berita M.I.P.I., Djuni 1959,p13.)
11. Kami tidak akan memberikan batasan matematika, melainkan lebih menekankan bahwa penciptaan sebuah sistem matematika adalah pembentukan suatu rakitan logis, yang pada dasarnya terdiri dari pernyataan-pernyataan utama dan pernyataan-pernyataan kelanjutan. Pernyataan-pernyataan utama meliputi istilah-istilah yang tak diterangkan, istilah-istilah diterangkan, dan patokan pikir-patokan pikir yang diterima tanpa pembuktian Pernyataan-pernyataan kelanjutan adalah kesimpulan-kesimpulan yang dicapai dari pernyataan-pernyataan utama.
(Kaj Nielsen, College Mathematics, 1958,p232-3.)
12. Matematika : ilmu abstrak yang menyelidiki secara deduktif kesimpulan-kesimpulan yang terkandung di dalam pengertian-pengertian dasar tentang hubungan-hubungan ruang dan bilangan, dan yang meliputi sebagai bagian-bagiannya yang utama geometri, aritmatika, dan aljabar.
(The Oxford English Dictionary, Volume VI, 1933,p234.)
13. Matematika ; ilmu tentang gagasan-gagasan yang disediakan oleh perasaan dan perenungan dalam hubungan dengan akibat-akibatnya yang perlu.
(Philo of Alexandria (100 sM), dikutip dalam James R. Newman, ed., The word of Mathematics, Volume 3, 1956,p1774.)
14. Dengan kata lain, matematika adalah kelompok ilmu-ilmu yang menelaah metode-metode yang tepat untuk menarik kesimpulan-kesimpulan yang perlu dari pangkal-pangkal pikir yang diterima sebagai dalil dan dinyatakan secara cermat.
(Raymon F. Piper & Paul W. Ward, The Fields and Methods of Knowledge: A Textbook in Orientation and Logic, 1929,p26.)
15. Konsepsi cemerlang tentang matematika sebagai penelaahan tentang segenap sistem-sistem logis abstrak atau ilmu-ilmu matematika abstrak dan penafsiran-penafsirannya yang nyata atau penerapan-penerapannya sesungguhnya membenarkan pernyataan bahwa matematika adalah pokok bagi setiap mata pelajaran yang membentuk bagian dari pencarian kebenaran.
(Moses Richardson, Fundamentals if Mathematics, 1950,p461.)
16. Matematika : ilmu yang menyangkut deduksi logis tentang akibat-akibat dari pangkalpikir-pangkalpikir umum dari semua penalaran.
(Bertrand Russell, dikutip dalam Alfred North Whitehead, Science and Philosophy, 1948,p291.)
17. Salah satu dari alat-alat utama untuk memperoleh pengetahuan dan mencapai kesimpulan-kesimpulan adalah metode deduktif, dan walaupun banyak dari matematika ditemukan atau diciptakan secara induktif, matematika adalah masih, terbaik dari semuanya, ilmu tentang penalaran deduktif.
(William L. Schaaf, Basic Concepts of Elementary Mathematics, 1966,pix.)
18. Kami memahami istilah suatu ilmu matematika berarti sesuatu himpunan pernyataan-pernyataan yang disusun sesuai dengan suatu urutan dari deduksi logis.
(Oswald Veblen & John Young, “A Mathematical Science”, dalam James Newman, ed., The World of Mathematics, Volume 3, 1956,p1697.)
19. Matematika dalam artinya yang terluas adalah pengembangan dari segenap ragam penalaran deduktif formal yang perlu.
(Alfred Nortf Whitehead, dikutip dalam Horward Eves & Carroll V. Newsom, An Introductions to the Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, 1958,p176.)
20. Ini adalah sebuah sistem logita yang tegar atau penalaran, yang dengannya kegiatan-kegiatan alam dapat dilukiskan dan dipahami dalam rangka lambang-lambang.
(David O. Woodbury, 1001 Questions Answered About the New Science, 1959,p335.)
21. Jadi, suatu sistem logis dimulai dengan istilah-istilah tertentu yang tak diterangkan dan pernyataan-pernyataan yang dibuktikan dan, dengan penalaran deduktif, mengembangkan kesimpulan-kesimpulan darinya dalam dalil-dalil dari sistem itu. Dari sudut pandangan tentang rakitan yang mungkin dari matematika, ini kadang-kadang diberi batasan sebagai sautu kumpulan dari sistem-sistem logis.
(The Word University Encyclopedia, Volume 7, 1965,p3140.)
22. Sebuah ilmu matematika adalah sesuatu kelompok pernyataan-pernyataan yang dapat mengalami perumusan abstrak dan penyusunan dalam suatu cara sedemikian sehingga setiap pernyataan dari himpunan itu setelah suatu pernyataan tertentu merupakan suatu akibat logis formal dari beberapa atau semua pernyataan-pernyataan yang mendahuluinya. Matematika terdiri dari segenap ilmu-ilmu matematika yang demikian itu.
(J. W. Young, dikutip dalam Horward Eves & Carroll V. Newsom, An Introductions to the Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, 1958,p176.)

MATEMATIKA SEBAGAI BAHASA
Matematika adalah bahasa yang melambangkan serangkaian makna dari pernyataan yang ingin kita sampaikan. Lambang-lambang matematika bersifat “artifisial” yang baru mempunyai arti setelah sebuah makna diberikan padanya. Tanpa itu maka matematika hanya merupakan kumpulan rumus-rumus yang mati. Yang paling sukar untuk menjelaskan kepada seseorang yang baru belajar matematika, keluh Alfred North Whitehead, ialah bahwa x itu sama sekali tidak berarti.
Bahasa verbal mempunyai beberapa kekurangan yang sangat mengganggu. Untuk mengatasi kekurangan yang terdapat pada bahasa maka kita berpaling kepada matematika. Dalam hal ini dapat kita katakan bahwa matematika adalah bahasa yang berusaha untuk menghilangkan sifat kubur, majemuk dan emosional dari bahasa verbal. Lambang-lambang dari matematika dibikin secara artifisial dan individual yang merupakan perjanjian yang berlaku khusus untuk masalah yang sedang kita kaji. Sebuah obyek yang sedang kita telaah dapat kita lambangkan dengan apa saja sesuai dengan perjanjian kita. Umpamanya bila kita sedang mempelajari kecepatan jalan kaki seorang anak maka obyek “kecepatan jalan kaki seorang anak” tersebut dapat kita lambangkan dengan x. Dalam hal ini maka x hanya mempunyai satu arti yakni “kecepatan jalan kaki seorang anak”. Lambang matematika ynag berupa x ini kiranya mempunyai arti yang jelas yakni “kecepatan jalan kaki seorang anak”. Di samping itu lambnag x tidak bersifat majemuk sebab x hanya melambangkan “kecepatan jalan kaki seorang anak” dan tidak mempunyai pengertian yang lain. Demikian juga jika kita hubungkan “kecepatan jalan kaki seorang anak” dengan obyek lain umpamanya “jarak yang ditempuh seorang anak” (yang kita lambangkan dengan y) maka kita dapat melambangkan hubungan tersebut sebagai z=y/x dimana z melambangkan “waktu berjalan kaki seorang anak”. Pernyataan z=y/x kiranya jelas tidak mempunyai konotasi emosional dan hanya mengemukakan informasi mengenai hubungan antara x, y, dan z. Secara ini maka pernyataan matematik mempunyai sifat yang jelas, spesific dan informatif dengan tidak menimbulkan konotasi yang bersifat emosional.

SIFAT KUANTITATIF DARI MATEMATIKA
Matematika mempunyai kelebihan lain dibandingkan dengan bahasa verbal. Matematika mengembangkan bahasa numerik yang memungkinkan kita untuk melakukan pengukuran secara kuantitatif. Dengan bahasa verbal bila kita membandingkan dua obyek yang berlainan umpamanya gajah dan semut maka kita hanya dapat mengatakan gajah lebih besar dari semut. Kalau kita ingin menelusuri lebih lanjut berapa besar gajah dibandingkan dengan semut maka kita mengalami kesukaran dalam mengemukakan hubungan itu. Kemudian jika sekiranya kita ingin mengetahui secara eksak berapa besar gajah bila dibandingkan dengan semut maka dengan bahasa verbal kita tidak dapat mengatakan apa-apa.
Bahasa verbal hanya mampu mengemukakan pernyataan yang bersifat kualitatif. Demikian juga maka penjelasan dan ramalan yang diberikan oleh ilmu dalam bahasa verbal semuanya bersifat kualitatif. Kita bisa mengetahui bahwa logam kalau dipanaskan akan memanjang. Namun pengertian kita hanya sampai disitu. Kita tidak bisa mengatakan dengan tepat berapa besar pertambahan panjangnya. Hal ini menyebabkan penjelasan dan ramalan yang diberikan oleh bahasa verbal tidak bersifat eksak, menyebabkan daya prediktif dan kontrol ilmu kurang cermat dan tepat.
Untuk mengatasi masalh ini matematika mengembangkan konsep pengukuran. Lewat pengukuran, maka kita dapat mengetahui dengan tepat berapa panjang sebatang logam dan berapa pertambahan panjangnya kalau logam itu dipanaskan. Dengan mengetahui hal ini maka pernyataan ilmiah yang berupa pernyataan kualitatif seperti “sebatang logam kalau dipanaskan akan memanjang” dapat diganti dengan pernyataan matematik yang lebih eksak umpamanya :
P1=P0(1+λt)
Dimana P1 merupakan panjang logam pada temperatur 1, P0 merupakan panjang logam tersebut pada temperatur 0 dan λ merupakan koefisien pemuai logam tersebut. Sifat kuantitatif dari matematika ini meningkatkan daya prediktif dan kontrol dari ilmu. Ilmu memberikan jawaban yang lebih bersifat eksak yang memungkinkan pemecahan masalah secara lebih tepat dan cermat. Matematika memungkinkan ilmu mengalami perkembangan dari tahap kualitatif ke kuantitatif. Perkembangan ini merupakan suatu hal yang imperatif bila kita menghendaki daya prediksi dan kontrol yang lebih tepat dan cermat dari ilmu. Beberapa disiplin keilmuan, terutama ilmu-ilmu sosial, agak mengalami kesukaran dalam perkembangan yang bersumber pada problema teknis dan dalam pengukuran. Kesukaran ini secara bertahap telah mulai dapat diatasi, dan akhir-akhir ini kita melihat perkembangan yang menggembirakan, dimana ilmu-ilmu sosial telah mulai memasuki tahap yang bersifat kuantitatif. Pada dasarnya matematika diperlukan oleh semua disiplin keilmuan untuk meningkatkan daya prediksi dan kontrol dari ilmu tersebut.